¿Qué son las funciones?

¡Hola humanos! ¿Cómo están? Aprenderemos en esta ocasión qué es una función desde el punto de vista de nuestras vidas diarias, y también desde el de las matemáticas:

En la vida diaria.

Cuando decimos que «una cosa está en función de otra» simplemente queremos decir que estas dos cosas están relacionadas, y que una de ellas se comporta dependiendo de cómo lo haga la otra, por ejemplo, cuánto dinero gastemos en ir a la escuela depende de qué tan lejos vivamos de ella; nuestra estatura depende de nuestra edad; la temperatura ambiente depende de la hora, la estación y la ubicación, y así podríamos seguir con muchos ejemplos.

Esta relación entre dos fenómenos en la que cómo ocurre uno, depende de cómo ocurre el otro es lo que llamamos una función; al fenómeno que ocurre independientemente de otros eventos (como por ejemplo el transcurso del tiempo), lo llamamos la variable independiente, y al que ocurre dependiendo del otro (como por ejemplo la luz del sol a cierta hora del día) la llamamos la variable dependiente.

Esta es la idea básica, pero representar una función con nuestras palabras es muy complicado e inexacto, por eso es que se ha ideado representar las funciones con símbolos.

En las matemáticas.

Si observan humanos, los ejemplos anteriores pueden considerarse como conjuntos: un conjunto de horas, un conjunto de temperaturas, un conjunto de estaturas, otro de dinero, y así… Y a cada elemento de un conjunto, se le asocia un elemento del que depende, por ejemplo, a las 10 de la mañana la temperatura es de 18°C; a las 11 la temperatura será de 19°C, y podríamos continuar haciendo de estas asociaciones de números. Para simplificarlas, lo común es ordenarlas en lo que se conoce como pares ordenados; con nuestros ejemplos, se forman los pares (10,18) y (11,19), pero cada función tiene sus propios pares ordenados.

Es aquí donde se nota mucho la gran ventaja de que las matemáticas usen un lenguaje simbólico: se puede representar una función con pocos símbolos y sin perder exactitud. Lo primero es llamar a la función por un nombre, lo común es usar las letras f, g, h, i, j… y luego establecer de forma simbólica cuál es la relación entre los elementos del conjunto de la variable independiente con los elementos del conjunto de la dependiente. Supongamos que un lápiz cuesta 8 pesos (o la moneda que usen ustedes); entonces un lápiz nos costará esos 8 pesos, en forma de par ordenado esto es igual a (1,8); pero podríamos comprarnos dos lápices por 16 pesos, formándose el par ordenado (2,16), o tres lápices por 24 pesos, que equivale al par ordenado (3,24), y así. Para no tener que estar explicando todo esto con palabras, le ponemos nombre a la función, por ejemplo f, y por medio de una expresión matemática explicamos cómo se relacionan los elementos de los dos conjuntos:

$f(x)=8x$

Y el significado de esta expresión, que se llama regla de correspondencia es que la variable independiente, que se ha llamado x al ser multiplicada por 8, equivale a una f(x), o lo que es lo mismo, si pagas 8 pesos, te dan un lápiz.

Con la regla de correspondencia ya se pueden conocer muchos datos sobre la función a la que representa, por ejemplo ¿cuál es el precio de 15 lápices? Pues es de:

$f(15)=8(15)$

$f(15)=120$

Supongamos ahora que para que te lleves los lápices tienes que pagar un peso por una bolsa; con esta nueva condición, la regla de correspondencia cambia, pero es fácil porque solo sumamos 1, porque siempre vas a pagar ese peso, no importando cuántos lápices compres:

$f(x)=8x+1$

Y así, por 18 lápices estaremos pagando:

$f(18)=8(18)+1$

$f(18)=144+1$

$f(18)=145$

Es así de simple humanos, todas las funciones tienen este principio básico. Por cierto ¿Cuántas rebanadas de pizza puede comer un gatito? ¿Es eso una función?